离散型
0 - 1 分布
- 分布律
$$ P \lbrace x = k \rbrace = p^k (1-p)^{1-k}, (k = 0, 1; 0 < p < 1)$$
二项分布
- 分布律 $ X \sim b(n, p) $
$$ P \lbrace x = k \rbrace = C_n^k p^k(1-p)^{1-k}, (k = 0, 1, 2, \cdots) $$
泊松分布
- 分布律 $ X \sim \pi(\lambda) $
$$ P \lbrace x = k \rbrace = \cfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, (k = 0, 1, 2, \cdots; \lambda > 0) $$
- 泊松定理
设 $ \lambda > 0 $ 是一个常数，$ n $ 是任意正整数，设 $ np_n = \lambda $，则对于任一固定的非负整数 $ k $，有
$$ \lim_{n \to \infty} C_n^k p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \cfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$
证：
由 $ n p_n = \lambda $ 可得 $ p_n = \cfrac{\lambda}{n} $
所以
$$
C_n^k p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \cfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}(\cfrac{\lambda}{n})^k(1 - \cfrac{\lambda}{n})^{n-k}
$$
$$
= \cfrac{\lambda^k}{k!}[1 \cdot (1-\cfrac{1}{n}) \cdot (1 - \cfrac{2}{n}) \cdots(1 - \cfrac{k-1}{n})] (1-\cfrac{\lambda}{n})^n(1-\cfrac{\lambda}{n})^{-k}
$$
所以
$$
\lim_{n\to\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\cfrac{\lambda^k}{k!}\cdot1\cdot e^{-\lambda} \cdot 1 = \cfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}
$$
这说明以 $ n $, $ p $ 为参数的二项分布的概率值可以用参数为 $ \lambda = np $ 的泊松分布近似
连续型
均匀分布
- 概率密度函数 $ X \sim U(a,b) $
$$
f(x)=
\begin{cases}
\cfrac{1}{b-a},&b>x>a \
0,&otherwise
\end{cases}
$$
指数分布
- 概率密度函数
$$
f(x)=
\begin{cases}
\cfrac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0 \
0,&otherwise
\end{cases}
$$
- 性质
无记忆性：
$$
P\lbrace X > s + t | X > s \rbrace = P\lbrace X > t \rbrace
$$
证：
$$
P\lbrace X > s + t | X > s \rbrace = \cfrac{P\lbrace (X > s + t) \bigcap (X > s) \rbrace}{P\lbrace X > s \rbrace }
$$
$$
= \cfrac{P\lbrace X > s + t \rbrace}{P\lbrace X > s \rbrace }
$$
$$
= \cfrac{1-F(s+t)}{1-F(s)}
$$
$$
= \cfrac{e^{-(s+t)/\theta}}{e^{-s/\theta}}
$$
$$
= e^{-t/\theta}
$$
$$
= P\lbrace X > t \rbrace
$$
正态分布
- 概率密度函数 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $
$$
f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty < x < \infty
$$
- 对概率密度函数的积分
令 $ t = \cfrac{x-\mu}{\sigma} $, 则有
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{d}t
$$
令 $ I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{d}t $, 则有
$$
I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}\mathrm{d}t\mathrm{d}u
$$
化为极坐标
$$
I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-\frac{r^2}{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = 2\pi
$$
由于 $ I > 0 $, 所以 $ I = \sqrt{2\pi} $
所以
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x = 1
$$
- 概率密度函数的拐点
对概率密度函数求二阶导, 可得
$$
f^{\prime\prime}(x) = \cfrac{-1}{\sqrt{2\pi}\sigma^3}[1-\cfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}]e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
可以看出，当 $x = \mu \pm \sigma $ 时， $ f^{\prime\prime}(x) = 0 $
即在 $ x = \mu \pm \sigma $ 处，曲线有拐点
随机变量的函数
设随机变量 $ X $ 具有概率密度 $ f_X(x), \infty>x>-\infty $，又设 $ g(x) $ 处处可导且恒有 $ g^\prime(x)>0 $ （ 或恒有 $ g^\prime(x)<0 $ ），则 $ Y=g(X) $ 是连续型随机变量，其概率密度为
$$
f_Y(y)=
\begin{cases}
f_X[h(y)]|h^\prime(y)|, &\beta > y > \alpha\
0, &otherwise
\end{cases}
$$
其中 $ \alpha = min \lbrace g(-\infty),g(\infty) \rbrace $ ， $ \beta = max \lbrace g(-\infty),g(\infty) \rbrace $ ， $ h(y) $ 是 $ g(x) $ 的反函数.
$$
f_Y(y)=\left{
\begin{aligned}
f_X[h(y)]|h^\prime(y)|, &\beta > y > \alpha\
0, &otherwise
\end{aligned}
\right.
$$
