第一章

小结

矢量分析

矢性函数可写为

$$
\boldsymbol{A}(t)=A_x(t)\boldsymbol{e_x}+A_y(t)\boldsymbol{e_y}+A_z(t)\boldsymbol{e_z}
$$

矢性函数的导数

$$
\cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t}=\lim_{t\rightarrow0}\cfrac{\Delta\boldsymbol{A}}{\Delta{t}}=\lim_{t\rightarrow0}\cfrac{\boldsymbol{A}(t+\Delta t)-\boldsymbol{A}(t)}{\Delta t}
$$

矢性函数的积分

$$
\int\boldsymbol{A}(t)\mathrm{d}t=\boldsymbol{e_x}\int A_x(t)\mathrm{d}t+\boldsymbol{e_y}\int A_y(t)\mathrm{d}t+\boldsymbol{e_z}\int A_z(t)\mathrm{d}t
$$

$$
\int_a^b\boldsymbol{A}(t)\mathrm{d}t=\boldsymbol{e_x}\int_a^b A_x(t)\mathrm{d}t+\boldsymbol{e_y}\int_a^b A_y(t)\mathrm{d}t+\boldsymbol{e_z}\int_a^b A_z(t)\mathrm{d}t
$$

场论

等值面：对空间中的物理量$u(x,y,z)$，满足$u(x,y,z)=c$的各点组成的曲面称为等值面
矢量线满足下列微分方程，求解这个常微分方程，就可以得到矢量线的方程

$$
\cfrac{\mathrm{d}x}{A_x}=\cfrac{\mathrm{d}y}{A_y}=\cfrac{\mathrm{d}z}{A_z}
$$

求解矢量线方程时，一般要使用和比公式，差比公式，和差比公式，有时还要左右同时乘以一个叫积分因子的函数，从原来的矢量线微分方程组，构造两个可以积分的全微分。如果不是全微分，一般是积分不出来的

标量场的方向导数和梯度

方向导数

标量场$u(M)$在$M_0$点处沿$l$方向的方向导数定义为

$$
\cfrac{\partial u}{\partial l}\mid_{M0}=\lim_{M\rightarrow M_0}\cfrac{u(M)-u(M_0)}{\overline{MM_0}}
$$

方向导数的计算公式

$$
\cfrac{\partial u}{\partial l}=\cfrac{\partial u}{\partial x}\cfrac{\partial x}{\partial l}+\cfrac{\partial u}{\partial y}\cfrac{\partial y}{\partial l}+\cfrac{\partial u}{\partial z}\cfrac{\partial z}{\partial l}=\cfrac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\cfrac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\cfrac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma
$$

梯度

对于标量场$u$，梯度计算公式

$$
gradu=\boldsymbol{e_x}\cfrac{\partial u}{\partial x}+\boldsymbol{e_y}\cfrac{\partial u}{\partial y}+\boldsymbol{e_z}\cfrac{\partial u}{\partial z}
$$

引入哈密尔顿算符

$$
\nabla\equiv\boldsymbol{e_x}\cfrac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e_y}\cfrac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{e_z}\cfrac{\partial}{\partial z}
$$

$$
gradu=\nabla u
$$

计算常用公式

$$
\nabla(cu)=c\nabla u
$$

$$
\nabla(u+v)=\nabla u+\nabla v
$$

$$
\nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u
$$

$$
\nabla(\cfrac{u}{v})=\cfrac{1}{v^2}(v\nabla u-u\nabla v)
$$

$$
\nabla f(u)=f^{\prime}(u)\nabla u
$$

做梯度运算产生的矢量场的量纲等于原标量场的量纲除以长度的量纲

矢量场的通量和散度

通量

矢量场$A$向正侧穿过曲面$S$的通量为

$$
\Phi=\int_S\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}
$$

在直角坐标系中有

$$
\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\boldsymbol{e_x}\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\boldsymbol{e_y}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\boldsymbol{e_z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$

散度

$M$点处的散度定义为

$$
div\boldsymbol{A}=\lim_{\Delta V\rightarrow M}\cfrac{\oint_S\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}{\Delta V}
$$

在直角坐标系中的计算公式

$$
div\boldsymbol{A}=\cfrac{\partial A_x}{\partial x}+\cfrac{\partial A_y}{\partial y}+\cfrac{\partial A_z}{\partial z}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}
$$

奥高公式

$$
\oint_SP\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_V\left(\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V
$$

矢量形式的奥高公式

$$
\oint_S\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_V\nabla\cdot\boldsymbol{A}\mathrm{d}V
$$

常用计算公式

$$
\nabla\cdot(u\boldsymbol{A})=u\nabla\cdot \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\cdot\nabla u
$$

散度的量纲等于原矢量场的量纲除以长度的量纲
引入拉普拉斯算符

$$
\Delta=\nabla\cdot\nabla=\cfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\cfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\cfrac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

矢量场的环量和旋度

环量

矢量场$\boldsymbol{A}$沿有向闭曲线$l$的环量为

$$
\Gamma=\oint_C\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}
$$

环量面密度为

$$
\mu_n=\lim_{\Delta S\rightarrow M}\cfrac{\Delta\Gamma}{\Delta S}=\lim_{\Delta S\rightarrow M}\cfrac{\oint_{\Delta l}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}{\Delta S}
$$

旋度

矢量场$\boldsymbol{A}$中一点$M$处存在向量$\boldsymbol{R}$，若沿$\boldsymbol{R}$方向的环量面密度最大，而且此环量面密度的值就等于$\boldsymbol{R}$的模值，则称$\boldsymbol{R}$为矢量场$\boldsymbol{A}$在点$M$处的旋度，记作$rot\boldsymbol{A}$
$n$方向的环量面密度就等于旋度在$n$方向的投影

$$
\mu_n=(rot\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}
$$

使用哈密尔顿算子，可得到

$$
rot\boldsymbol{A}=\nabla\times\boldsymbol{A}
$$

常用公式

$$
\nabla\times(uA)=u\nabla\times\boldsymbol{A}+\nabla u\times\boldsymbol{A}
$$

$$
\nabla \cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot\nabla\times\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\nabla\times\boldsymbol{B}
$$

$$
\nabla\times(\nabla u)=\boldsymbol{0}
$$

$$
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0
$$

对矢量场作旋度运算，所得旋度的量纲是原矢量场的量纲除以长度的量纲

亥姆霍兹定理

矢量场分类

无旋场
管形场（无散场）
调和场：在给定区域，矢量场的散度，旋度恒为零。即指既无旋又无源的矢量场

亥姆霍兹定理

如果在体积$v$内矢量场$\boldsymbol{A}$的散度和旋度已知，在$v$的边界$S$上$\boldsymbol{A}$的值也已知，则在$v$内任意一点$\boldsymbol{A}$的值能唯一确定